| Giải tích toán học tập → Giải tích phức |
| Giải tích phức |
|---|
 |
| Số phức |
|
| Hàm số phức |
|
| Lý thuyết cơ bản |
|
| Nhân vật |
|
|
|
Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng , nhập cơ a và b là những số thực, là đơn vị chức năng ảo, với hoặc .[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức hoàn toàn có thể được màn trình diễn bên trên mặt mũi bằng phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, vì thế một số phức được xác lập vày một điểm đem tọa phỏng (a,b). Một số phức nếu như đem phần thực vày ko thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu như đem phần ảo vày ko thì trở nên số thực R. Việc không ngừng mở rộng ngôi trường số phức nhằm giải những vấn đề nhưng mà ko thể giải nhập ngôi trường số thực.
Số phức được dùng trong vô số nhiều nghành khoa học tập, như khoa học tập chuyên môn, năng lượng điện kể từ học tập, cơ học tập lượng tử, toán học tập phần mềm ví dụ như nhập lý thuyết lếu loàn. Nhà toán học tập người Ý Gerolamo Cardano là kẻ thứ nhất thể hiện số phức. Ông dùng số phức nhằm giải những phương trình bậc tía nhập thế kỉ 16.[2]
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Nhà toán học tập người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã mang khái niệm thứ nhất về số phức, khi này được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" nhập dự án công trình Đại số (Bologne, 1572) công tía không nhiều lâu trước lúc ông mất mặt. Ông tiếp tục khái niệm những số cơ (số phức) Lúc phân tích những phương trình bậc tía và đã mang đi ra căn bậc nhì của .
Nhà toán học tập người Pháp D’Alembert nhập năm 1746 tiếp tục xác lập được dạng tổng quát mắng "" của bọn chúng, đôi khi đồng ý nguyên tắc tồn bên trên n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học tập Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã mang đi ra ký hiệu "" nhằm chỉ căn bậc nhì của , năm 1801 Gauss tiếp tục sử dụng lại ký hiệu này.
Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được chấp nhận giải một phương trình chắc chắn nhưng mà ko giải được nhập ngôi trường số thực. Ví dụ, phương trình
không đem nghiệm thực, vì như thế bình phương của một số trong những thực ko thể âm. Các số phức được chấp nhận giải phương trình này. Ý tưởng là không ngừng mở rộng ngôi trường số thực quý phái đơn vị chức năng ảo với , nên là phương trình bên trên được giải. Trong tình huống này những nghiệm là −1 + 3i và −1 − 3i, hoàn toàn có thể ra soát nghiệm Lúc thế nhập phương trình và với :
![{\displaystyle {\big [}\left(-1+3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(3i\right)^{2}=\left(3^{2}\right)\left(i^{2}\right)=9\cdot \left(-1\right)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07da03dc7cbb4d94418abdd4e3884770d3c034aa)
![{\displaystyle {\big [}\left(-1-3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(-3i\right)^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(i^{2}\right)=9\cdot (-1)=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5334849aa929fb370d05e4c73e2940764c0042)
Thực tế không những những phương trình bậc nhì nhưng mà toàn bộ những phương trình đại số đem thông số thực hoặc số ảo với cùng 1 biến chuyển số hoàn toàn có thể giải vày số phức.
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức được màn trình diễn bên dưới dạng , với a và b là những số thực và là đơn vị ảo, vừa lòng ĐK . Ví dụ là một trong số phức.
Số thực a được gọi là phần thực của ; số thực b được gọi là phần ảo của . Theo cơ, phần ảo không tồn tại chứa chấp đơn vị chức năng ảo: vì thế b, ko nên bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hoặc ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hoặc ℑ(z). Ví dụ:
Do cơ, nếu như xét theo gót phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ tiến hành ghi chép là . Biểu thức này nhiều lúc được gọi là dạng Cartesi của z.
Một số thực a hoàn toàn có thể được màn trình diễn ở dạng phức là với phần ảo là 0. Số thuần ảo là một trong số phức được ghi chép là với phần thực vày 0. Trong khi, Lúc phần ảo âm, nó được ghi chép là với chứ không , ví dụ chứ không .
Tập phù hợp toàn bộ những số phức hoặc ngôi trường số phức được ký hiệu là ℂ, hoặc . Có nhiều cách thức thi công ngôi trường số phức một cơ hội nghiêm ngặt vày cách thức định đề.
Gọi là ngôi trường số thực. Ký hiệu là hội tụ những cặp (a,b) với .
Trong , khái niệm nhì quy tắc nằm trong và quy tắc nhân như sau:
thì là một trong ngôi trường (xem cấu hình đại số).
Ta hoàn toàn có thể lập một đơn ánh kể từ tập dượt số thực nhập bằng phương pháp cho từng số thực a ứng với cặp . Khi cơ ... Nhờ quy tắc nhúng, tao như nhau tập dượt những số thực với tập dượt con cái những số phức dạng , Lúc cơ tập dượt những số thực là tập dượt con cái của tập dượt những số phức và sẽ là một không ngừng mở rộng của .
Ký hiệu là cặp (0,1) . Ta có
.
Tất cả những số phức dạng được gọi là những số thuần ảo.
Một số định nghĩa cần thiết nhập ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Dạng đại số của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong ngôi trường số phức, đặc điểm của đơn vị chức năng ảo đặc thù vày biểu thức
Mỗi số phức z đều được màn trình diễn độc nhất bên dưới dạng:
Xem thêm: cách giải phương trình bậc 2
trong cơ a, b là những số thực. Dạng màn trình diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cơ hội màn trình diễn bên dưới dạng đại số, quy tắc nằm trong và nhân những số phức được tiến hành như quy tắc nằm trong và nhân những nhị thức hàng đầu với chú ý rằng . Như vậy, tao có:
Mặt bằng phẳng phức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong hệ toạ phỏng Descartes, hoàn toàn có thể sử dụng trục hoành chỉ tọa phỏng phần thực còn trục tung mang đến tọa phỏng phần ảo nhằm màn trình diễn một số phức
Khi cơ mặt mũi bằng phẳng tọa phỏng được gọi là mặt mũi bằng phẳng phức.
Số thực và số thuần ảo[sửa | sửa mã nguồn]
Mỗi số thực sẽ là một số phức đem .
Ta có:
Nếu , số phức được gọi là thuần ảo.
Số phức liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]
Cho số phức bên dưới dạng đại số , số phức được gọi là số phức phối hợp của z.
Một số đặc điểm của số phức liên hợp:
- là một số trong những thực.
- là một số trong những thực
- =
- =
Module và Argument[sửa | sửa mã nguồn]
- Xem thêm: độ quý hiếm tuyệt đối
Dạng lượng giác của số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Số phức hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng
Khi đặt
- ,
ta có
Cách màn trình diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức .
Phép toán bên trên những số phức ghi chép bên dưới dạng lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]
- Phép nhân và quy tắc phân tách những số phức bên dưới dạng lượng giác
Cho nhì số phức bên dưới dạng lượng giác
Khi đó
- Lũy quá ngẫu nhiên của số phức bên dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
- Khai căn số phức bên dưới dạng lượng giác.
Mọi số phức z không giống 0 đều phải có đích n căn bậc n, là những số dạng
![{\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03dd7d07b639e386d3e187aac1866ee12ba466b)
trong cơ ,
Xem thêm: so2+o2
Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Các hội tụ số[sửa | sửa mã nguồn]
- : Tập phù hợp số tự động nhiên
- : Tập phù hợp số nguyên
- : Tập phù hợp số hữu tỉ
- : Tập phù hợp số vô tỉ
- : Tập phù hợp số thực
- : Tập phù hợp số phức
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Hình học tập phức
- Mặt cầu Riemann (mặt bằng phẳng phức hé rộng)
- Giải tích phức
- Số siêu phức
- Số nguyên vẹn Gauss
- Căn bậc hai
- Công thức Euler
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Charles Phường. McKeague (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9.
- ^ Burton (1995, tr. 294)
- ^ Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3
- ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Algebra and Trigonometry (ấn phiên bản 6), Cengage Learning, tr. 66, ISBN 0-618-82515-0, Chapter Phường, p. 66
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
 |
Wikimedia Commons được thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số phức. |
- Số phức bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
| Các chủ thể chủ yếu nhập toán học |
|---|
| Nền tảng toán học tập | Đại số | Giải tích | Hình học tập | Lý thuyết số | Toán học tập tách rộc | Toán học tập phần mềm | Toán học tập vui chơi | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê |
Bình luận